Rechnen Mit Quadratwurzeln Beispiel Essay

Quadratwurzel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Quadratwurzel ist.
[Alternative Bezeichnung: Zweite Wurzel]

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl \(a\)
ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl,
deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl \(a\) ist.

„Quadrat“ bedeutet „mit sich selbst malgenommen“.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3 \quad \text{wegen} \quad 3 \cdot 3 = 9\)

(sprich: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.)

Neben \(3 \cdot 3 = 9\) gilt bekanntlich auch \((-3) \cdot (-3) = 9\). Gilt dann \(\sqrt{9} = -3\)?
Nein, denn die Quadratwurzel ist als nichtnegative Zahl definiert.
Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist.

Wiederholung wichtiger Grundbegriffe

  • \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel (sprich: n-te Wurzel aus a)
  • \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
  • \(a\): Radikand
  • \(n\): Wurzelexponent
         Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
         Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.

Bei Quadratwurzeln lässt man den Wurzelexponenten meist weg.

Beispiel

\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)

Häufig spricht man einfach von „der Wurzel“, auch wenn man die Quadratwurzel meint.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3\)

Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.

In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3\)

3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.

Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln

Um das Wurzelziehen zu vereinfachen, lohnt es sich, wenn man einige Wurzeln auswendig kann. Am einfachsten kann man sich die Quadratwurzeln von Quadratzahlen merken.

QuadratzahlQuadratwurzelBedeutung
11\(\sqrt{1} = \sqrt{1^{2}} = 1\)
42\(\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} = 2\)
93\(\sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3\)
164\(\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4\)
255\(\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5\)
366\(\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6\)
497\(\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7\)
648\(\sqrt{64} = \sqrt{8^{2}} = 8\)
819\(\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9\)
10010\(\sqrt{100} = \sqrt{10^{2}} = 10\)
12111\(\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11\)
14412\(\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12\)
16913\(\sqrt{169} = \sqrt{13^{2}} = 13\)
19614\(\sqrt{196} = \sqrt{14^{2}} = 14\)
22515\(\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15\)
25616\(\sqrt{256} = \sqrt{16^{2}} = 16\)
28917\(\sqrt{289} = \sqrt{17^{2}} = 17\)
32418\(\sqrt{324} = \sqrt{18^{2}} = 18\)
36119\(\sqrt{361} = \sqrt{19^{2}} = 19\)
40020\(\sqrt{400} = \sqrt{20^{2}} = 20\)
44121\(\sqrt{441} = \sqrt{21^{2}} = 21\)
48422\(\sqrt{484} = \sqrt{22^{2}} = 22\)
52923\(\sqrt{529} = \sqrt{23^{2}} = 23\)
57624\(\sqrt{576} = \sqrt{24^{2}} = 24\)
62525\(\sqrt{625} = \sqrt{25^{2}} = 25\)

Quadratwurzeln in Potenzen umformen

Jede Wurzel kann durch eine Potenz
mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden.

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

Beispiele

\(\sqrt{4} = \sqrt[2]{4^1} = 4^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{9} = \sqrt[2]{9^1} = 9^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{16} = \sqrt[2]{16^1} = 16^{\frac{1}{2}}\)

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".


Was ist die Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel von c ist diejenige nicht-negative Zahl,
die mit sich selbst multipliziert c ergibt.

Du schreibst für die Quadratwurzel aus c auch $$sqrt (c) $$ .

Beispiel:

$$sqrt (4)=2$$   , da   $$2*2=4$$

ABER: $$sqrt (4)!= -2$$ , obwohl $$(-2)*(-2)=4$$ !
Die Wurzel ist immer nicht-negativ, deshalb kann sie nicht $$-2$$ sein.

Das Wurzelziehen heißt auch Radizieren.
Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand.

Quadratwurzel

$$uarr$$

$$sqrt9=3$$

$$darr$$

Radikand

Wichtige Zusammenhänge

Quadrieren und Wurzelziehen sind Umkehroperationen.

Du kannst den einen Vorgang durch den anderen wieder rückgängig machen.

Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen?

Quadratwurzeln kannst du nur aus nicht-negativen Zahlen ziehen,
denn das Produkt zweier gleicher Zahlen ist stets positiv.

Beispiel:

$$sqrt (-4)$$   existiert nicht,

da   $$2*2=4$$   und   $$(-2)*(-2)=4$$

Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert  $$-4$$  ergibt.

Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen ziehen

Wurzeln aus natürlichen Zahlen kannst du stets ziehen.

Dabei ist es hilfreich, die Quadratzahlen von $$1^2$$ bis $$25^2$$ im Kopf zu haben.

Am besten ist, du lernst die Quadratzahlen auswendig. Dann fallen dir die Aufgaben auch ohne Taschenrechner leicht.

Wenn du weißt, dass $$25^2=625$$, kannst du aus $$625$$ auch problemlos die Quadratwurzel ziehen.

Beispiele:
$$sqrt (25) = 5$$  da  $$ 5*5=25$$

$$sqrt (169) = 13$$   da  $$13*13=169$$

$$sqrt (0) = 0$$   da  $$0*0=0$$   und   $$0ge0$$

Quadratwurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Bildest du Quadratwurzeln von Brüchen, kannst du
schrittweise Zähler und Nenner getrennt betrachten.

Auch bei Bruchzahlen helfen dir die Quadratzahlen.

Beispiele:

$$sqrt (25/36)=5/6$$  da  $$5/6*5/6=25/36 $$

$$sqrt(81/100)=9/10$$   da   $$9/10*9/10=81/100$$

$$sqrt(9/441)=3/21=1/7$$   da   $$3/21*3/21=9/441$$

Denke zum Schluss daran, dass du Brüche kürzen kannst.

Quadratwurzeln aus Dezimalbrüchen ziehen

Möchtest du die Wurzel aus einem Dezimalbruch ziehen, so denke dir das Komma zunächst weg und erinnere dich wieder an die Quadratzahlen.

Beispiele:

Schritt $$sqrt (1,44)$$ $$sqrt (0,0576)$$
Komma wegdenken und Wurzel ziehen. $$sqrt (144) =12$$ $$sqrt(576)=24$$
Begründung $$12*12=144$$ $$24*24=576$$
Kommastellen einfügen. Das Ergebnis hat nur halb so viele Nachkommastellen wie der Radikand. $$sqrt(1,44)=1,2$$ $$sqrt(0,0576)=0,24$$

ABER: $$sqrt(2,5)$$ kannst du nicht so einfach ziehen, da $$5*5=25$$ und $$0,5*0,5=0,25$$.

Weitere Beispiele:

$$sqrt(0,25)=0,5$$

$$sqrt(6,25)=2,5$$

$$sqrt(0,0001)=0,01$$

$$sqrt(-0,09)$$ existiert nicht.

Quadratwurzeln - jetzt auch noch doppelt

Manchmal begegnen dir auch Aufgaben, bei denen du auf einmal zwei Wurzelzeichen $$sqrt(sqrt(m))$$ siehst.
Dann gehe schrittweise vor. Du beginnst mit der inneren Wurzel. Aus dem Ergebnis ziehst du erneut die Wurzel. Das kannst du auch ohne Taschenrechner.

Beispiel:

$$sqrt(sqrt(16))=sqrt(4)=2$$

$$sqrt(sqrt(81))=sqrt(9)=3$$

Potenzen unter Quadratwurzeln

Wenn du z.B. $$sqrt(10^4)$$ ausrechnest, überlege dir Folgendes:

$$sqrt(10^4)=sqrt(10*10*10*10)$$

     $$=sqrt(10^2*10^2)$$

     $$=sqrt(10^2)*sqrt(10^2)$$

     $$=10*10=10^2$$

Du siehst: Du halbierst den Exponenten und lässt das Wurzelzeichen weg. So löst du solche Aufgaben.

Weitere Beispiele:

$$sqrt(3^8)=sqrt(3^2*3^2*3^2*3^2)=3^4$$
$$sqrt(10^12)=10^6$$
$$sqrt(1/(10^22))=1/(10^11)$$

Wurzeln mit dem Formel-Editor

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